日前，华体会体育物理学院张向东教授课题组，在非线性全局同步和拓扑电路研究方面取得重要进展。相关工作以“Non-Hermitian global synchronization” 为题发表在Advanced Science [Adv. Sci. 2408460 (2024)]上。华体会体育物理学院张蔚暄研究员和2022级博士生邸凤潇为论文的共同第一作者，张向东教授为通讯作者。研究工作得到国家重点研发计划、 国家自然科学基金和北京市自然科学基金的大力资助。

同步的研究最早可以追溯到十七世纪荷兰科学家惠更斯发现的相互作用双钟摆模型，即挂在同一根横梁上的两个钟摆会朝着相反的方向同频率摆动。自惠更斯发现同步现象以来，人们在电气工程、无线电技术、生物学和声学等不同领域也发现了各种同步效应。从小尺寸的微粒间同步和微纳振荡器同步，到距离千米的光机械系统的同步。从复杂生物系统的耦合生物光素同步，到寻常生日蛋糕上蜡烛火焰的同步。从稻田里的青蛙和树上的知了同步鸣叫，到展现集体行为学的蜜蜂群体螺旋波等。

为了深入理解同步现象，科学家对多种同步模型进行了深入研究。在没有主动驱动的情况下，由非线性引起的耦合自治振子的同步效应引起了广泛关注。研究发现，耦合非线性振子的同步效应会显著受到振子间的耦合方式、耦合强度以及固有频率分布的影响，使非线性同步在实际应用中容易遭到结构无序和缺陷的破坏。同时，耦合非线性振子的同步效应对初始条件非常敏感，需要对其进行精细控制。因此，设计鲁棒的新型耦合非线性振子模型，构建稳定的同步效应具有重要意义。

研究亮点一：理论揭示反常的非厄米趋肤全局同步效应

针对上述问题，研究人员对非互易耦合Stuart-Landau振子模型(图1a)进行了系统性研究。线性非互易耦合与1D Hatano-Nelson链相对应。Stuart-Landau振子的动力学方程为 。研究人员对上百种随机初始条件下，系统的时域演化特性进行了计算。发现无论初始条件如何设置，系统都会演化到反相同步态或同相同步态之一，如图1(b1)和(b2)所示。通过稳定性分析可知，两种同步态都具有非线性稳定性，对应于非线性极限环。有趣的是，两种非线性同步态的空间分布(图1(e1)和1(e2))与Hatano-Nelson链的两个最小局域非厄米趋肤态(由IPR量化，图1(c1))的空间分布完全一致(归一化因子为11.5)。另外，反相和同相非线性同步态的频率(图1(d1)和1(d2))也与最小局域非厄米趋肤态的本征值相对应。这些结果显示，在弱非线性条件下 (β|Z_l (t)|²≪J₊,J_-)，系统可以展现由非厄米线性趋肤态统治的全局同步效应，即非厄米-线性全局趋肤同步。这一现象是由非厄米趋肤态的非正交性和非厄米趋肤极限环共同导致的。

为了进一步分析系统参数对非厄米趋肤全局同步的影响，研究人对Kuramoto序参量进行了扩展，定义了新的序参量R_o来量化系统的同步特性。其中，同相和反相非厄米全局同步态的序参量都具有趋于0。通过计算序参量随非互易耦合强度的变化(图1f)可知，非厄米线性趋肤同步效应只能存在于0.25≤J_-≤1.2(J₊=1.5)的区间内。这是由非厄米趋肤态的非正交性与弱非线性条件(β|Z_l(t)|²≪J₊,J_-)的平衡所导致的。此外，非厄米趋肤全局同步也可以展示尺寸依赖的临界行为。图1g展示了序参量随系统尺寸N的变化曲线。在N≤7的区域，由于非厄米趋肤态较弱的非正交性，系统展现多频振荡。随着尺寸的增加738时，系统的弱非线性近似被破坏，非线性本征态主导了系统的动力学特性。当尺寸增大到N>45时，由非线性-非厄米趋肤态统治的全局同步效应出现，即非厄米-非线性全局趋肤同步。上面结果显示，通过增加非厄米-非线性系统的尺寸，可以展现线性或非线性非厄米全局趋肤同步效应，这一反常现象与传统同步模型相反。发生这一现象的本质原因是：线性和非线性趋肤态的非正交性会随着系统尺寸的增大而增强。

另外，研究人员发现，非厄米趋肤全局同步效应也可以在具有互易耦合的增益损耗系统中存在，进一步证明了非厄米趋肤全局同步的普适性。

图1. 非厄米趋肤全局同步的理论结果。

研究亮点二：理论揭示非厄米拓扑全局同步效应

除了非厄米趋肤全局同步效应，研究人员进一步对基于1D非厄米SSH链的耦合非线性振子模型(图2a)进行了研究。研究发现，通过调节拓扑边界态的空间分布和局域强度，可以使系统展现多种非厄米同步效应。当拓扑边界态与非厄米趋肤态局域在同一边界时，系统可以展现非厄米-线性趋肤全局同步(图2b，2f所示，同步趋肤态的局域化程度(IPR)比拓扑态更小)，非厄米-非线性趋肤全局同步(图2c，2g，拓扑态和趋肤态的IPR接近)和非厄米拓扑全局同步(图2d，2h，拓扑态的IPR最小)。另外，当拓扑边界态与非厄米趋肤态局域在相反边界时，系统两边界附近的非线性振子分别展现由线性趋肤态和拓扑态主导的同步效应，即非厄米趋肤-拓扑同步簇(图2e，2i)。最后，研究人员进一步计算了序参量随包间耦合强度以及晶格长度的变化关系，揭示了上述非厄米全局同步效应间的转变规律，如图2j和2k所示。

图2. 非厄米拓扑全局同步的理论结果。

研究亮点三：基于非厄米-非线性拓扑电路的实验观测

为了对上述理论预言进行实验证明，研究人员设计并制备了两种非厄米-非线性拓扑电路(图3a-3b和图4a-4b所示)，使其电压动力学演化方程与图1a和2a中的耦合非线性振子模型的时域薛定谔方程在数学形式上完全一致。进而通过对电路电压演化特性的测量，实现了对上述非厄米趋肤全局同步(图3c-3h)以及非厄米拓扑全局同步(图4c-3h)的实验观测。

图3. 非厄米线性趋肤同步电路实验结果。

图4. 非厄米拓扑同步电路实验结果。

该工作首次揭示了具有反常特性的非厄米趋肤全局同步和非厄米拓扑全局同步效应。设计并制备了两种非厄米-非线性拓扑电路，实现了对非厄米趋肤全局同步以及非厄米拓扑全局同步的实验证明。与传统厄米同步系统不同，非厄米全局同步具有初态鲁棒性，结构扰动鲁棒性，同步模式可调性以及尺度可拓展性等独特性质。这些特点使其在众多非线性同步系统中，具有潜在的应用前景。

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